2018-2019学年高中数学 第一讲 坐标系专题检测试卷 新人教A版选修4-4.docx

第一讲 坐标系 专题检测试卷(一) (时间：90分钟 满分：120分) 一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分) 1．已知曲线C的极坐标方程ρ＝2cos2θ，给定两点P，Q(2，π)，则有( ) A．P在曲线C上，Q不在曲线C上 B．P，Q都不在曲线C上 C．P不在曲线C上，Q在曲线C上 D．P，Q都在曲线C上 答案 C 2．将曲线C按伸缩变换公式变换，得到的曲线方程为x′2＋y′2＝1，则曲线C的方程为( ) A.＋＝1B.＋＝1 C．4x2＋9y2＝36D．4x2＋9y2＝1 答案 D 解析 把代入x′2＋y′2＝1，可得到关于x，y的式子，即得曲线C的方程，∴4x2＋9y2＝1即为所求． 3．直角坐标为(3－，3＋)的点的极坐标可能是( ) A.B. C.D. 答案 B 4．将点的柱坐标化为直角坐标为( ) A．(，1,3) B．(1，，3) C．(1,2,3) D．(2,1,3) 答案 A 5．圆ρ＝5cosθ－5sinθ的圆心坐标是( ) A.B. C.D. 答案 A 6．在极坐标系中，点A与B之间的距离为( ) A．1B．2C．3D．4 答案 B 解析 由A与B知，∠AOB＝，∴△AOB为等边三角形，因此|AB|＝2. 7．方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示的图形是( ) A．两条直线B．四条直线 C．两个点D．四个点 答案 D 解析 由方程得 解得或或或故选D. 8．在极坐标系中，直线θ＝(ρ∈R)截圆ρ＝2cos所得弦长是( ) A．1B．2C．3D．4 答案 B 解析 化圆的极坐标方程ρ＝2cos为直角坐标方程，得2＋2＝1，圆心坐标为，半径为1，化直线θ＝(ρ∈R)的直角坐标方程为x－y＝0，由于－×＝0，即直线x－y＝0，过圆2＋2＝1的圆心，故直线θ＝(ρ∈R)截圆ρ＝2cos所得弦长为2. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 9．点A的直角坐标为，则它的球坐标为________． 答案 解析 r＝＝6. cosφ＝＝，∴φ＝.tanθ＝＝，∴θ＝. ∴它的球坐标为. 10．在极坐标系中，点A关于直线l：ρcosθ＝1的对称点的一个极坐标为________． 答案 解析 由直线l的方程可知直线l过点(1,0)且与极轴垂直，设A′是点A关于l的对称点， 则四边形OBA′A是正方形，∠BOA′＝，且OA′＝2， 故A′的极坐标可以是. 11．已知点A是曲线ρ＝2cosθ上任意一点，则点A到直线ρsin＝4的距离的最大值是________． 答案 解析 曲线ρ＝2cosθ，即(x－1)2＋y2＝1，表示圆心为(1,0)，半径为1的圆，直线ρsin＝4，即x＋y－8＝0，圆心(1,0)到直线的距离等于＝，所以点A到直线ρsin＝4的距离的最大值是＋1＝. 12．在极坐标系中，直线ρ(cosθ－sinθ)＝2与圆ρ＝4sinθ的交点的极坐标为________． 答案 解析 直线ρ(cosθ－sinθ)＝2， 即x－y－2＝0，圆ρ＝4sinθ， 即x2＋(y－2)2＝4，表示以(0,2)为圆心，半径为2的圆， 由得故直线和圆的交点坐标为(，1)， 故它的极坐标为. 三、解答题(本大题共6小题，共60分) 13．(10分)在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线(x－5)2＋(y＋6)2＝1，求曲线C的方程，并判断其形状． 解 ∵经过伸缩变换后， 曲线C变为曲线(x－5)2＋(y＋6)2＝1， ∴(x′，y′)适合方程(x－5)2＋(y＋6)2＝1， 即(x′－5)2＋(y′＋6)2＝1， ∴(2x－5)2＋(2y＋6)2＝1， ∴2＋(y＋3)2＝. ∴曲线C的方程为2＋(y＋3)2＝，曲线是以为圆心，半径为的圆． 14．(10分)已知曲线C1的极坐标方程为ρcos＝－1，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2cos，判断两曲线的位置关系． 解 将曲线C1，C2化为直角坐标方程，得C1：x＋y＋2＝0，C2：x2＋y2－2x－2y＝0，即C2：(x－1)2＋(y－1)2＝2，圆心到直线的距离d＝＝>， ∴曲线C1与C2相离． 15．(10分)已知圆C：x2＋y2＝4，直线l：x＋y＝2.以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系． (1)将圆C和直线l的方程化为极坐标方程； (2)P是l上的点，射线OP交圆C于点R，又点Q在OP上且满足|OQ|·|OP|＝|OR|2，当点P在l上移动时，求点Q轨迹的极坐标方程． 解 (1)将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入圆C和直线l的直角坐标方程得其极坐标方程为C：ρ＝2，l：ρ(cosθ＋sinθ)＝2. (2)设P，Q，R的极坐标分别为(ρ1，θ)，(ρ，θ)，(ρ2，θ)， 则由|OQ|·|OP|＝|OR|2得ρρ1＝ρ. 又ρ2＝2，ρ1＝， 所以＝4， 故点Q轨迹的极坐标方程为ρ＝2(cosθ＋sinθ)(ρ≠0)． 16．(10分)如图所示，在柱坐标系中，长方体OABC—O1A1B1C1的两个顶点的坐标分别为A1(2,0,3)，C，求此长方体的外接球的表面积． 解 在柱坐标系中，由A1(2,0,3)，C， 得|OA|＝2，|OO1|＝3，|OC|＝4， ∴长方体的体对角线|OB1|＝＝， ∴长方体的外接球的半径为， 故该长方体的外接球的表面积S＝4π2＝29π. 17．(10分)已知圆M的极坐标方程为ρ2－4ρcos＋6＝0，求ρ的最大值． 解 原方程化为ρ2－4ρ·＋6＝0， 即ρ2－4(ρcosθ＋ρsinθ)＋6＝0. 故圆的直角坐标方程为x2＋y2－4x－4y＋6＝0. 圆心为M(2,2)，半径为. 故ρmax＝|OM|＋＝2＋＝3. 18．(10分)从极点O引一条直线和圆ρ2－2aρcosθ＋a2－r2＝0相交于一点Q，点P分线段OQ的比为m：n，求点Q在圆上移动时，点P的轨迹方程，并指出它表示什么曲线． 解 设点P，Q的极坐标分别为(ρ，θ)和(ρ1，θ1)， 由题设知将其代入圆的方程， 得2－2acosθ＋a2－r2＝0， 整理得(m＋n)2ρ2－2am(m＋n)ρcosθ＋m2(a2－r2)＝0， ∴点P的轨迹方程为(m＋n)2ρ2－2am(m＋n)ρcosθ＋m2(a2－r2)＝0，它表示一个圆．